|
Я решил отказаться от нумерации задач, поскольку в разных изданиях нумерация задач различна, да и по набору задач издания отличаются. Не меняются лишь формулировки задач. |
|||
|
Оцените порядок скорости с которой
человек должен бежать по воде, чтобы не тонуть. |
|||
|
Решение: Будем решать задачу с помощью подхода, изложенного в статье “The physics od stone skipping” Lyderic Bocquet, American Journal of Physics 17(2), 150 (2003). В статье рассматривается физика процесса отскакивания плоских камней от поверхности воды, то есть того, что называется “лягушками”. Существенно упростим задачу. Рассмотрим подошву человека как плоскую пластину, под углом погруженную в воду. Масса “подошвы” равна массе человека. Скорость направлена, главным образом, горизонтально, с небольшой составляющей, направленной под воду.
Cила, действующая на пластину:
где Sim – площадь пластины, погруженная в воду, m – масса пластины, V – скорость, С – коэффициент сопротивления со стороны воды (различный по направлению n и t). Запишем уравнение в проекциях на оси x, y.
Далее будем считать, что за одно соприкосновение с водой горизонтальная составляющая скорости не меняется, а квадрат скорости равен примерно квадрату горизонтальной составляющей, в процессе соприкосновения с поверхностью воды не изменяется угол наклона, коэффициент сопротивление Сt – пренебрежимо мал, угол θ – мал, так что cos θ = 1, а sin θ = 0. Тогда останется лишь второе уравнение из приведенных выше, которое можно переписать следующим образом:
где
Линейное диф. ур-ие решается стандартными методами (см. статью). Хотелось бы отметить, что линейное уравнение получается из-за предположение о том, что сила сопротивления прямо пропорциональна глубине погружения z – в принципе разумное предположение. То есть движение подошвы (или камня в статье) описывается неким гармоническим уравнением (см. статью). Дальше следующая идея: если амплитуда колебания заведет подошву (камень) слишком глубоко (подошва полность погрузится под воду, сохранив при этом угол θ) – то объект потонет. Если нет – то совершив колебание вниз, объект вернется на поверхность, то есть подошва (камень отскочет от воды). Все выкладки приводятся в статье. Для минимальной скорости, с которой должна лететь подошва (бежать человек -J) выводится соотношение:
если считать, что масса человека равна 100 кг, коэффициент сопротивления Cl =1, плотность воды 1000 кг/м3 , суммарная площаь ступни человека 0,05 м2 , то такого человека следует катапультировать с начальной скоростью горизонтальной скоростью примерно 9 м/с (32 км/ч). Тогда после первого соприкосновения с водой, если человек не будет шевелить ступнями, есть некая вероятность того, что он отскочит от воды -J. Кстати скорость 10 м/с достигается лучшими спринтерами. Вообще говоря, задача больше похожа на задачу о человеке на водной монолыже. Получается, что минимальная скорость катера для того, чтобы человек не тонул на небольшой монолыже – 36 км/час. Есть такие ящерицы - василиски, которые могут бегать по воде. Ящерицы небольшие, обитают где – то на Амазонке. Наблюдал по телевизору крайне интересное зрелище. Ящерица разгоняется под водой до огромной скорости, затем выпрыгивает на поверхность воды, колотит здоровенными перепончатыми задними лапами по поверхности воды и бежит. Жаль не хватает подробного описания этой ящерки (она небольшая по размерам, но все же далеко не водомерка) |
|||
|
Поверхность реки образует
наклонную поверхность. Может ли тело свободно плыть по реке со скоростью,
превышающей максимальную скорость течения? |
|||
|
Решение: П.Л.Капица создал две основополагающие работы по проблеме волнового режима течения жидких пленок (1948-1949 гг). В первой из них (Капица П.Л. “Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости /ЖЭТФ, 1948, Т.18, Вып.1) изложена приближенная теоретическая схема описания закономерностей волнового течения. Во второй (Капица П.Л., Капица С.П. “Опытное изучение волнового режима течения /ЖЭТФ, 1949, №2) были представлены экспериментальные результаты. Фазовая скорость волн (т.е скорость перемещения гребней на поверхности пленки) на поверхности пленки, стекающей под действием силы тяжести, лежит в диапазоне (1,7-3,0 u0), где u0 – средняя скорость жидкости в волновой пленке. Если тело находится на гребне волны, то его скорость может превысить в данный момент скорость течения. |
|||
|
Определите скорость, с которой
распространяется двухмерная волна по натянутой мыльной пленке данной толщины.
Оцените диапазон этих скоростей. |
|||
|
H0
Легко показать из ур-ия неразрывности и уравнения сохранения импульса, что:
Используя также ур-ие сохранения импульса:
Условия на границе раздела:
Ур-ие волны на поверхности раздела фаз имеет вид h=a sin(kx – wt), где h – отклонение от поверхности раздела (z=0), a – амплитуда. Для p1 и p11 ищем решение в виде A(z)sin(kx-wt). C учетом условия, что
Окончательно получим:
Для случая капиллярных волн и малой толщины пленки (th(kh0)~kh0)
Для h0 = 0,001 м, ρ1 = 1000 кг/м3, λ=0,001 м, σ = 0,05 Н/м с = 1 м/с. Следует отметить, что решена, по существу, задача о пленке, “растянутой” на смачиваемой поверхности. Я не решил для себя вопрос о граничных условиях на нижней границе пленки, растянутой между двумя проволочками. |
|||
|
Если леска удочки опущена в
текучую воду, то кругом наблюдается рисунок из неподвижных капиллярных волн.
Объясните почему такое явление возможно. |
|||
|
Если скорость течения равна фазовой скорости капиллярной волны, то волны будут казаться наблюдателю “неподвижными”. Леска из-за пульсаций в потоке и др. факторов генерирует капиллярные волны, которые и кажутся “неподвижными”. Скорость капиллярных волн на поверхности бесконечно глубокой жидкости определяется из соотношений:
c~0,5 м/с. Не решил для себя вопрос: а будет ли скорость капиллярных волн, генерируемых леской, подстраиваться под скорость течения? |
|||
|
Оценить высоту падения, на которой
застывает расплавленная свинцовая капля |
|||
|
В общем случае нужно решать нестационарную задачу о падении свинцовой капли.
Решим задачу лишь для стационарного движения капли расплава. Температура плавления свинца 330 С. Плотность 10670 кг/м3. Σ = 0,440 Н/м. Радиус капли – 1мм.
Будем считать, что достаточно быстро капля будет падать в режиме Ньютона (Cd~0,44).
v~ 15 м/с Проверим сохранит ли капля сферичность. Критерий We:
Хотя We чуть больше единицы будем считать, что капля с r=1 мм. почти сферическая. Будем использовать корреляцию для стационарного конвективного теплообмена с шаром;
Pr=0,7 Nu=33 Α=330 Вт/м2К Термическим сопротивлением внутри капли пренебрегаем. Теплота плавления свинца – 22,5 кДж/кг Капле диаметром 2мм нужно сообщить ~1 Дж тепла Капля пролетит ~2,5 секунды или ~ 35 м. |
|||
|
Оцените время за которое замерзнет
пруд |
|||
|
В общем случае нужно решать нестационарные уравнения теплопроводности для областей 2,3, в области 1 рассчитывать конвективный теплообмен. Отметим, что для области 3, по-видимому, нужно решать именно ур-ие теплопроводности, поскольку конвекция затруднена: более теплая жидкость (4 С) находится ближе к дну водоема, более холодная наверху. Решим задачу при такой постановке: происходит рост тонкого слоя льда:
Для единичной площадки:
После интегрирования получим:
Слой льда 1 м. образуется за |
|||
|
Две параллельные пласины находятся
на расстоянии малом по сравнению с их размерами. Между пластинами помещают
несколько тонких и хорошо теплопроводящих перегородок-экранов. Определить
влияние экранов на теплопроводность в двух случаях: а) когда длина свободного пробега
молекул газа, заполняющего про-во между пластинами мала по сравнению с
расстоянием между экранами. б) когда длина свободного пробега
молекул газа велика по сравнению с расстоянием между пластинами.
|
|||
Решение: 1) Считаем все промежутки достаточно узким. Тогда коэффициент теплопроводности многослойной системы равен:
Где α экр – коэффициент теплопередачи экрана (будет считать бесконечно большим). В этом случае суммарный эффективный коэффициент теплопередачи равен
где x – суммарная толщина экранов. 2) Для второго случая воспользуемся рекомендацией Сивухин “Общий курс физики. Том 2”, М.:Наука, 1975, стр.345. Обычный коэффициент теплопроводности идеального газа равен:
где l – длина свободного пробега. В случае если размеры системы больше длины свободного пробега, можно воспользоваться другим эффективным коэффициентом теплопроводности, в котором вместо длины свободного пробега стоит характерный размер сосуда.
где l – характерный размер сосуда. Пренебрежем в формуле (*) вторым слагаемых, тогда, как нетрудно видеть, отношение d1/λ не зависит от расстояния d1, в то время как суммарный коэффициент теплоотдачи уменьшается в n раз. |
|||
|
Оценить, какую толщину должны
иметь стены у данного материала для того, чтобы в помещении колебания
температуры от средней годичной не превышали бы 3 С. |
|||
|
В общем случае нужно решать нестационарное ур-ие теплопроводности с периодическими граничными условиями. В принципе задача более или менее стандартная. Но для тел конечных размеров, как правило, все решения уравнения теплопроводности записываются какими-нибудь рядами, в которых разбираться лень. Решим задачу в простой постановке. Будем считать стену полубесконечной массивом. Пусть температура скачком меняется на внешней поверхности стены 30 С (внезапно наступает зима и длится полгода). На какой глубине температура изменится на 3 С за 6 месяцев?
a (кирпича) = 4,9 10-7 м2/c x ~ 100 м. Кстати, если уж говорить о задаче об остывании полупространства, то, на мой взгляд, самая красивое приложение этой задачи – это оценка возраста Земли (Сивухин “Общий курс физики. Том 2”, М.:Наука, 1975, стр.181). Будем считать, что первоначально Земля была горячим шаром с однородной температурой равной температуре затвердевания горных пород 4000 С. После этого на поверхности Земли температура скачком упала до 0 С. Можно найти распределение температуры Земли по радиусу в разные моменты времени. Затем можно сравнить с тем, как меняется реальная температуры Земли с глубиной и отсюда узнать возраст Земли. Получается 0,1 млрд лет. Заниженное значение, но все же… |
|||
|
Самолет летит со скоростью,
близкой к звуковой: благодаря трению о воздух, фюзеляж нагревается. Оценить
возможную предельную температуру нагревания поверхности самолета. |
|||
|
Решение: Оценим данную температуру для случая адиабатического торможения. Выделяется тепло:
где индекс 0 относится к газу на бесконечности, индекс m – к газу пограничного слоя. Будем считать в пограничном слое Wm =0. Тогда для температуры получим:
Скорость звука равна
где k= Cp/Cv Отсюда легко показать, что
где M – число Маха. Для воздуха k = 1,4, скорость самолета близка к скорости звука, то есть M~1. Тогда Примем для оценки, что корпус самолета нагреется до температуры газа в пограничном слое. В реальных условиях процесс перехода кинетической энергии в тепловую не является адиабатным, а сопровождается обменом тепла между слоями газа. Если поверхность в потоке газа изолирована, то температура называется адиабатной температурой.
где
Вообще говоря r является функцией от Re, Pr. |
|||
|
Данный объем хранится в
сферическом металлическом баллоне. Определить, при каком давлении газа вес
тары будет наименьший. |
|||
|
Вес тары, на первый взгляд, будет наименьшим, если давление внутри сферы равно внешнему давлению. С другой стороны, если данный объем газа, скажем, 100 куб.м., а его все равно нужно окружить оболочкой, чтобы препятствовать диффузии, то оболочка все равно будет весить прилично. Вот логика для узкого набора начальных условий. Возьмем литр газа при атмосферном давлении. Поместим его в литровый сосуд. При атмосферном давлении достаточно того, чтобы оболочка была непроницаемой для газа. Вес тары пренебрежимо мал. Если внешнее давления больше или меньше атмосферного, то тару надо укреплять, соотвественно вес тары будет увеличиваться. |
|||
|
Рассчитать время исчезновения
мыльного пузыря, соединенного с атмосферой через заданный капилляр. |
|||
|
Будем считать, что в капилляре (радиус r) реализуется течение Пуазейля, а
разность давлений на концах трубки равна Расход воздуха в капилляре определим по формуле Пуазейля:
С другой стороны текущий расход воздуха в капилляре:
Приравняв (*) и (**) и проинтегрировав, получим Выражение для промежутка времени, за которое исчезнет пузырь радиусом R:
Для капилляра радиусом 1 мм и длиной 10 см, мыльного пузыря радиусом 10 см. получим время 2 часа. Задачу можно найти в книге Сивухин “Общий курс физики. Том 2”, М.:Наука, 1975, стр.439. |
|||
|
Если двигать горизонтальный
проводник перпендикулярно его длине, то благодаря существованию земного
магнитного поля на концах его возникает разность потенциалов. Вычислите ее и разберите вопрос,
нельзя ли на практике использовать это явления для определения скорости
движения самолетов, судов и спутников Земли. |
|||
|
Найдем разность потенциалов, которая возникает в проводнике, движущеся перпендикулярно линиям магнитной индукции земного поля:
Пусть B=50 мкТл, v = 300 м/с (порядка скорости звука), l = 10 м (размах крыльев). Тогда U =
0,15 B |
(-
суток, если температура воздуха -30 С.
