4. Оптическая система, состоящая из собирающей линзы с фокусом F=20 см и плоского зеркала в форме посеребренной с одной стороны плоскопараллельной пластинки толщиной d=6 см с показателем преломления n=1,5 создает действительное изображение точечного источника света S, расположенного на главной оптической оси линзы. Расстояние от источника S до линзы a=3F/5, а от изображения S₁ , даваемого системой, до линзы b=3F/2. Найти расстояние L от линзы до зеркала. Отражением от передней поверхности пластинки пренебречь.

Решение:

По формуле для линзы найдем расстояние f до изображения от источника S:

;

Изображение будет мнимым (т.к. знак отрицателен).

На пластинку будет падать свет от мнимого точечного источника расположенного на расстоянии f+L:

Лучи света, преломляясь и отражаясь от посеребренной стенки, будут создавать “мнимый” источник света S2, который и будет создавать изображение S1. Нетрудно показать, что расстояние до мнимого источника создаваемого зеркалом относительно линзы равно:

Подставим в формулу для линзы:

Отсюда можно получить численный ответ : L=11 см.

5. На горизонтальном непроводящем диске по его периметру укреплен тонкий проводящий стержень AC. Диск находится в однородном магнитном поле с индукцией B=10^-2 Тл, перпендикуляной плоскости диска и совершает крутильные гармонические колебания относительно вертикальной оси, проходящей через точку O: , где t – время. Длина стержня L = a+b, где a = 0,5 м, b=1 м. Определить максимальную разность потенциалов между концами стержня A, C, если  рад, ω=0,2 рад/с.

Решение:

Сначала решим по модели движущегося проводника в магнитном поле.

Для отрезка OC зависимость потока, через площадь, “заметаемую” проводником равна:

э.д.с., которая будет возникать определяется:

На участке AO будет возникать аналогичная э.д.с., но с обратном знаком (про обратный знак легко догадаться, если учесть, что э.д.с. образуется под действием силы Лоренца и учесть направление движения отрезков AO и OC). Соотвественно суммарная э.д.с. будет определяться:

Очевидно, что максимальная э.д.с. определяется как:

=4,5 10^-4 B

Решим задачу теперь с использованием выражения для силы Лоренца:

Под воздействием этой силы возникнет перераспределение зарядов:

Соотвественно, выражение для E:

Затем вычисляется разность потенциалов:

После подстановки выражений и расчета, получим то же выражение.

5. Металлический стержень AC одним концом (точка A) шарнирно закреплен на вертикальном диэлектрическом стержне AO. Другой конец (точка C) связан с вертикальным стержнем с помощью нерастяжимой непроводящей горизонтальной нити OC длиной R=1 м. Стержень AC вращается вокруг стержня AO в однородном магнитном поле, индукция которого вертикальна и равна B=10^-2 Тл. Угловая скорость вращения стержня AC ω=60 рад/с. Определить разность потенциалов между точками А и C.

Решение:

На свободные электроны стержня будет действовать сила Лоренца

qvB

Нетрудно показать, что составляющая силы вдоль длины стержня, которая приведет к разделению зарядов равна:

F_l = qvB sinα = qE_l

Линейная скорость равна V=ωr= ωl sinα. Отсюда получим выражение для напряженности поля.

E_l = q ωl sinα B sinα

Интегрируя по длине проводника ( l ), получим разность потенциалов:

v

1. На вершине покоящейся на гладком горизонтальном столе горки массой 3m удерживают шайбу массой m (см. рис.). Шайбу отпускают, и она скользит по горке без трения и отрыва и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость u. Найти разность высот H между вершинами горки. Верхняя часть поверхности правой вершины горки наклонена к вертикали под углом β=30º. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.

Решение:

Шайбу отпустят, система придет в движение. Наиболее сложное в решении, на мой взгляд, не упустить из внимания тот момент, что в неподвижной системе наблюдателя, шайба покинет горку вовсе не под углом β.

Решим задачу в системе неподвижного наблюдателя.

В проекции на ось х в последний момент времени закон сохранения импульса запишется:

-3mu + mvcosα = 0 (*)

3 mu² /2  + mv² /2 = mgH (**)

При движении вверх по горке с углом β, движущейся со скоростью –u, движение происходит под углом α:

tgα = v_отн cos β/ (v_отн sin β – u)

Легко показать, подставив в (*), что:

-3u+ (1)

Преобразуем (**)

2gH = 3u²+-2v_отн u sinβ + u² (2)

gH=6u² +8u² / tg² β

H=

Легче, конечно, решать в два этапа. Сначала рассмотреть закон сохранения в системе горки. Там все углы сохраняются. А потом перейти к неподвижной системе координат. Тогда легко получить уравнение (1).

Затем рассмотреть закон сохранения энергии уже в неподвижной системе:

По теореме косинусов можно найти модуль скорости.

v² = +u² +2vucos(90+ β)= -2v_отн u sinβ + u²

То есть приходим к уравнению 2.

Затем получаем ответ.

2. Сосуд с водой уравновешен на чашке весов. Для приготовления соленого раствора была использована крупная соль, содержащая нерастворимые в воде примеси. Соль с примесями в марлевом мешочке была опущена на нити в сосуд, так что мешочек оказался целиком погруженным в воду. Сразу после этого показания весов изменились на ΔP (ΔP >0). После того как соль целиком растворилась в воде, была измерена плотность раствора ρ и объем примесей V_п , оставшейся в мешочке. Найти массу воды m_в , находящейся в сосуде. Плотность чистой соли – ρ_с , воды – ρ_в . Ускорение свободного падения – g. После растворения соли раствор считать однородным с плотностью , где m_c и m_в – массы соли и воды, а V_в и V_c – их объемы.

Решение:

Сразу после погружения в воду, величина ΔP определялась следующим образом:

ΔP=

V_c =

После растворения

После этого получим ответ:

3. На рисунке изображена вольтамперная характеристика двух соединенных параллельно элементов, одним из которых является  резистор с сопротивлением R = 200 Ом, а другим элемент – Z. Используя заданную вольтамперную характеристику, постройте вольамперную характеристику элемента Z.

Решение:

Два проводника присоединены параллельно. Суммарный ток определяется:

На первом участке I определяется функцией:

I=0,015U, на втором I=0,02+0,005U

Соответственно на первом участке I_z:

На втором участке:

=0,02

Строим график:

y

1. Стеклянный шар объемом V и плотностью ρ₀ находится в сосуде с водой. Угол между стенкой сосуда и горизонтальным дном α. Внутренняя поверхность сосуда гладкая. Плотность воды ρ. Найти силу давления шара на дно в двух случаях: 1) сосуд неподвижен, 2) сосуд движется с постоянным горизонтальным ускорением a.

Решение:

В случае неподвижной системы сила давления на дно сосуда определяется как:

В случае движущейся системы, главное догадаться, что на шар в сторону противоположную стороны силы инерции ma (будем рассматривать все в неинерционной системе координат) будет действовать аналог силы Архимеда

Запишем ур-ия. Вдоль оси X:

(*)

Вдоль оси Y:

Решая совместно получим ответ:

2. Моль гелия расширяется из начального состояния 1 в конечное состояние 3 в двух процессах. Сначала расширение идет в процессе 1-2 с постоянной теплоемкостью C=3R/4 (R – газовая постоянная). Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда его давление P прямо пропорционально объему V. Найти работу, совершенную газом в процессе 1-2, если в процессе 2-3 он совершил работу A. Температуры начального (1) и конечного состояния (3) равны.

Решение:

Для процесса 1-2 запишем ур-ие сохранения энергии:

  (*)

     (**)

Ур-ие состояния для одного моля идеального газа:

Сравнивая с (**) получим для работы A:

A = RT₃ – RT₂

Если учесть, что для гелия (одноатомный газ, который мы будем считать идеальным, C_v  = 3R/2), а также учесть, что T₃ = T₁ , получим:

A₁₂ =

3. Плоский конденсатор, пластины которого имеют площадь S и расположены на расстоянии d, заполнен твердым диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Конденсатор подсоединен к батарее постоянного тока, ЭДС которой равна ε. Правую пластину отодвигают так, что образуется воздушный зазор. На какое расстояние x отодвинута пластина, если при этом внешними силами была совершена работа A? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.

Решение.

Работу совершают батарея и внешние силы. Работа, которую совершает батарея равна:

A_б =(q2-q1)E

Работа, которую совершит батарея и внешние силы, пойдет на изменение энергии конденсатора:

Подставив A_б в данную формулу получим:

A=

Емкость кондесатора C1 =

Емкость в “конечном” состоянии C2 =  

(можно найти если рассмотреть две части конденсатора с диэлектриком и без как последовательно соединенные конденсаторы).

Окончательно:

X=

4. Муха пересекает оптическую ось собирающей линзы на расстоянии a=3F, где F – фокусное расстояние линзы, под малым углом α к оси линзы со скоростью v. 1) Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптическую ось? 2) Чему равна в этот момент скорость изображения мухи? Указание: для малых углов sinα=tgα=α.

Решение:

Найдем положение изображения точки A:

Найдем изображение точки B. Опустим перпендикуляр, найдем положение изображения

точки C f1:

Найдем длину изображения отрезка AC:

X=f-f1.

После всех выкладок, пренебрегая малыми слагаемыми, ,

Найдем высоту изображения отрезка BC:

Окончательно можно показать, что

Нетрудно показать из соотношения длины изображения к отрезку AB, что скорость изображения u = v /4.

5. Гамма-излучением называют электромагнитное излучение при переходах атомных ядер из возбужденных в более низкие энергетические состояния. Γ – квант испускается движущимся со скоростью v0 = 63,2 м/с ядром атома олова Sn под углом 60⁰ к направлению его движения с энергией, равной энергии перехода ядра из возбужденного в основное состояние. Найти энергию Г – кванта. Энергия покоя ядра олова W0 = mc² = 113 ГЭВ

Решение:

Запишем закон сохранения энергии:

По условию задачи

Соотвественно,

Компоненты V₁ найдем, исходя из из закона сохранения импульса, учтем, что импульс кванта

равен .

Подставив все в уравнения, получим

X

1. Толстая однородная веревка массой m=0,3 кг соединена с бруском массой 6m легкой нитью, перекинутой через блок (см. рис.) Коэффициент трения скольжения между бруском и наклонной плоскостью μ=0,1. Угол наклона наклонной плоскости к горизонту β=30 С. 1) Найти ускорение бруска. 2) Найти силу натяжения веревки в точке B для которой BD = AD/4.

 Массой блока и трением в его оси пренебречь.

Решение:

На мой взгляд, самое трудное, понять, куда будет “ехать” система грузов. Интуитивно может показаться, что в сторону висящего груза – так это не так -J.

Допустим, что груз m потянул за собой большой груз. Ускорение a направлено в положительном направлении X. Тогда:

, (*)

где N – натяжение нити.

 (**)

(***)

(****)

Можно легко видеть, что правая часть (****) при данном угле β отрицательна, то есть предположение о направлении движения неверно.

Если не “повестись” на это, то все остальное решение элементарно.

ma = N-mg (1)

(2)

Суммируя (1-2) получаем:

Сила натяжения в точке B:

N=0.25*(ma+mg)

2. Подвижный поршень весом mg, подвешенный на пружине, делит объем вертикально откачанного цилиндра на две части. В положении равновесия высота нижней части H0, а удлинение пружины равно x0. В нижнюю часть цилиндра выпрыскивается v молей воды. При медленном нагреве до некоторой температуры вся вода испаряется, а поршень перемещается на величину x1 = ax0 (a=1/2).

1) Определить конечную температуру T.

2) Найти работу A, совершенную паром.

Решение:

Найдем коэффициент жесткости пружины из условия:

Уравнение состояния:

Отсюда можно найти конечную температуру:

При записи выражения для работы нужно учесть, что газ сжимал пружину и поднимал груз:

4. Батарею с ЭДС E подключают к последовательно соединенным катушке с индуктивностью L и незаряженному конденсатору с емкостью C. В контуре происходят колебания тока. В тот момент, когда ток в контуре становится равным нулю, батарею отключают от схемы и подключают вновь, поменяв местами ее выводы. Чему будет равен после этого максимальный ток в контуре? Внутренним сопротивлением батареи в сопротивлением катушки пренебречь.

Решение:

Колебания в контуре идут за счет работы, произведенной батареей QE. В момент, когда сила тока равна нулю эта работа полностью идет на энергию кондесатора. Найдем из этого условия заряд на кондесаторе:

     (*)

Q=2CE, напряжение на кондесаторе 2E.

Небольшое отступление:

а чему равен заряд на кондере, когда ток в системе максимален?

Когда ток максимален то напряжение на катушке индуктивности равно нулю (поскольку производная тока по времени равна нулю) и все напряжение E сидит на кондере. То есть Q=CE. Отступление поможет в дальнейшем.

Меняем полюсами источник напряжения. Когда ток будет максимален, напряжение –E будет сидеть полностью на конденсаторе, но вот какую работу произведет батарея к этому моменту? Для того чтобы напряжение стало –E батарея должна стянуть с каждой обкладки кондесатора заряд, равный 2CE-(-CE) = 3CE. Составляем закон сохранения энергии для системы;

Отсюда получим максимальный ток в контуре:

Ур-ие (*) имеет второе решение Q=0. То есть в момент, когда батарею меняют полюсами,

Напряжение на кондере равно 0. В этом случае закон сохранения энергии запишется:

F2

5. Оптическая система состоит из двух линз: собирающей и рассеивающей, главные оптические оси которых параллельны и смещены друг относительно друга на расстояние d=1 см. Параллельный пучок света, направленный на систему параллельно главным оптическим осям, фокусируется системой в точке F, расположенной на расстоянии a=10 см от рассеивающей линзы. 1) Найти расстояние между линзами L. 2) Найти расстояние b от фокуса F до главной оптической оси собирающей линзы. Фокусные расстояния линз F1=40 см, F2=-40 см.

Решение:

Для того, чтобы от рассеивающей линзы получилось действительное изображение, необходимо, чтобы на рассеивающую линзу падал пучок сходящихся лучей, соотвествующих мнимому источнику света, расположенному за рассеивающей линзой. Действительно по формуле для линзы:

Поскольку f >0 (действительное изображение), F2 <0, d должно быть <0, то есть источник должен быть мнимым. Тогда L < F1, а расстояние до мнимого источника S равно F1-L (параллельные лучи сходятся в фокусе первой линзы). a >> d, будем использовать ф-лу для линзы:

 см

Расстояние b можно найти из подобия треугольников.

b=0,25 см

3. Частица массой m c положительным зарядом q находится в однородных электрическом и магнитном полях. Линии индукции магнитного поля параллельны силовым линиям электрического поля. В начальный момент времени частице сообщают скорость v0, направленную под углом α к силовым линиям. Через время τ частица оказывается вновь на той же силовой линии электического поля, с которой она стартовала, на расстоянии L от первоначальной точки. 1) Чему равна напряженность электрического поля E? 2) Найти индукцию магнитного поля B.

Решение:

Общая сила, действующая на частицу будет определяться как:

Электическое поле будет ускорять частицу.

Отсюда можно получить ответ для напряженности электрического поля.

Магнитное поле будет закручивать частицу по окружности с центростремительным ускорением :

(*)

Частица совершит полный оборот за время τ. Из этого условия найдем радиус:

(**)

Решая совместно (*) и (**)

4. В схеме, изображенной на рисунке, при разомкнутом ключе К напряжение на кондесаторе емкостью C равно 6E, где E – ЭДС батареи. Какой максимальный ток будет течь через катушку индуктивности L после замыкания  ключа? Внутренним сопротивлением батареи и сопротивлением катушки пренебречь.

Решение:

Во-первых, надо уяснить, что в момент максимального тока эдс на катушке индуктивности равно нулю (так как производная тока равна нулю) и все напряжение E сосредоточено на кондере. Так что энергия конденсатора в этот момент будет равна , а энергия катушки . К этому моменту кондер сбросит заряда 6EC – (-EC) = 7EC. На это поработает батарея (работа 7CE² ) и на это уйдет энергия начальная кондера . Составим баланс: